icon-Mathe Mathe Tutorial: Inhalt

Diese Seite stellt zu ausgewählten Themen der Mathematik wichtige Rechenregeln und praktische Beispiele zusammen. Es wird jeweils versucht die wesentlichen und grundlegenden Rechenregeln beispielhaft zu erläutern und in ihren jeweiligen Einzelschritten nachvollziehbar darzustellen. Für eine vollständigere Darstellung wird auf entsprechende Wikipedia Artikel zur Vertiefung verwiesen. Wo es sich anbietet ist ein Javascript-Rechner eingefügt, mit dem Beispielaufgaben gerechnet werden können. Der Rechner gibt, zum besseren Nachvollziehen der Rechnung, die Teilergebnisse mit an.

Tools

MathML

Mit MathML lassen sich mathematische Ausdrücke auf Webseiten darstellen. Auf der folgenden Seite ist an Beispielen der MathML Code erläutert.

MathML Beispiele Integral Summe Klammern Indizes Brüche Wurzeln Tabellen Matrix Determinante Vektor Einzug Style Operatoren Differential Integral Punkte Geometrie Mengen Logik Vektoren Griechische Buchstaben

JSXGraph

JSXGraph ist eine Web-Browser-Bibliothek für interaktive Geometrie, Funktion Plotten, Charting und Visualisierung von Daten in einem Web-Browser. Die Bibliothek ist komplett in JavaScript implementiert und verwendet SVG, VML oder Canvas.

JSXGraph ist entwickelt am Lehrstuhl für Mathematik und Didaktik an der Universität Bayreuth.

PDF-Dateien und Videos zu den Themen

Rechnen-Arithmetik

Rechnen

Das Rechnen, in der Mathmatik ein Teilgebiet der Arithmetik, umfasst den Umgang mit den Grundrechenarten also das Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Zahlen. Das beinhaltet auch die Anwendung der Grundrechenarten in Prozent- und Bruchrechnung. Die Arthmetik befasst sich über die Rechenregeln hinaus mit allgemeineren Zahlenbegriffen wie z.B. komplexen Zahlen und Themen wie Primfaktorzerlegung und Teilbarkeit.

Zahlen

Stellenwertsysteme für Zahlen: Dezimalsystem, Binärsystem und Hexadezimalsystem.

Zahlensysteme

Kombinatorik

Aufgaben­stellungen der Kombinatorik und Erläuterung der kombinatorischen Grund­funktionen. Begriffe und Anwendungen der Kombinatorik anhand von Beispielen mit unterstützendem Beispiel­rechner.

Kombinatorik Fakultät Binomial­koeffizient Polynomial­koeffizient Permutationen Variationen Kombinationen Binomrechner Mittelwertrechner

Bruch­rechnung

Zusammen­stellung der Rechen­regeln der Bruch­rechnung mit Beispielen. Beispiel­rechner zur Ermittelung des kleinsten gemeinsam Vielfachen (kgV) und des größten gemeinsamen Teilers (ggT).

Bruch­rechnung Kürzen Addition Subtraktion Multiplikation Division Potenzen Wurzeln Rechner

Prozent- und Zins­rechnung

Zusammen­stellung der Rechen­regeln der Prozent- und Zins­rechnung mit Beispielen.

Prozent­rechner Prozent­rechnung Promille­rechnung Zins­rechnung Dreisatz­rechnung

Numerik und Algorithmen

Numerische Verfahren und Algorithmen.

Newton-Verfahren
Fractal

Rechnen im Komplexen

Die komplexen Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen. Die Erweiterung erfolgt durch die Einführung einer imaginären Komponente i. Eine komplexe Zahl besteht aus einem Realteil und einem Imaginärteil. Der Vorteil komplexer Zahlen liegt unter anderem darin, dass Gleichungen die im Reellen keine Lösungen haben, im Komplexen lösbar sein können. Z.B. hat die Gleichung x2=-1 im reellen keine Lösung ist aber im Komplexen lösbar. Desweiteren schaffen die komplexen Zahlen eine Verbindung zwischen den trigonometrischen Funktionen und den Exponentialfunktionen.

Komplexe Zahlen

Rechen­regeln und Definitionen für komplexe Zahlen. Addition, Multiplikation und Division komplexer Zahlen. Potenzen und Beziehungen konjugiert komplexer Zahlen. Trigonometrische und exponentielle Darstellung komplexer Zahlen. Beispiel­rechner.

Rechen­regeln für komplexe Zahlen Rechner

Interaktive Grafik

Komplexe Zahl Addition komplexer Zahlen Multiplikation komplexer Zahlen Division komplexer Zahlen Potenzen komplexer Zahlen

Komplexe Funktionen

Bilder komplexer Funktionen mit der Farbkreis­methode: Lineare Funktion, Rationale Funktion, Sinus­funktion sowie Exponential­funktion und weitere.

Komplexe Funktionen Lineare Funktion Quadratische Funktion Rationale Funktionen Rationale lineare Funktion e-Funktion exp(z)/(z-a) exp(z)/(z-a) + (z+b)/(z+c) Sinus­funktion x2 + i y2
Mathematik

Gleichungen

Eine Gleichung macht eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme. Die Gleichheit wird mit dem Symbol = ausgedrückt. Terme die die Gleichheit erfüllen sind die Lösungen der Gleichung. Bei einem Gleichungssystem leigen mehrere Gleichungen vor, die für eine Lösung simultan erfüllt werden müssen.

Lineare Gleichungen

Lösung linearer Gleichungungen mit einer und zwei Unbekannten. Erläutert anhand von Beispielen unterstützt durch Rechner und grafischer Darstellung.

Lineare Gleichungen Skalare lineare Gleichung mit einer Unbekannten Skalare lineare Gleichung mit zwei Unbekannten

Lineare Gleichungs­systeme

Allgemeine Form des linearen Gleichungs­systems und Erläuterung der Lösungs­verfahren: Additions-, Gleich­setzungs- und Einsetzungs­verfahren. Gaußsches Eliminations­verfahren. Rechner und grafische Lösung.

Lineare Gleichungs­systeme Allgemeine Form eines linearen Gleichungs­systems Lösungs­verfahren für lineare Gleichungs­systeme Rechner 2x2 Rechner 3x3 Rechner NxN Gauss Rechner NxN Cramer

Quadratische Gleichungen

Allgemeine Form der quadratischen Gleichung und Herleitung und Verwendung der sog. pq-Formel. Beispiele für die Lösungsmenge mit Rechenweg für reelle und komplexe Lösungen. Rechner mit Darstellung des Rechenwegs.

Quadratische Gleichungen Grundlagen Quadratische Gleichung mit zwei reellen Lösungen Quadratische Gleichung mit zwei komplexen Lösungen Quadratischen Gleichung mit einer zweifachen Lösung Anwendung der p,q-Formel Parabel Online-Rechner Lösung Online-Rechner Scheitelpunktform

Differential­gleichungen

Lineare Differential­gleichungen erster Ordnung. Allgemein und mit konstanten Koeffizienten. Lösung mit Variation der Konstanten. Rechner für die numerische Lösung der Differential­gleichung. Grafische Darstellung der Lösung im Richtungsfeld.

Rechner für einzelne Dgls

y'+ay=b y'+ay=ce^bx y'+2xy=xe^(-x^2) y'+xy=x y'+y=x y'=y^2 y'+y^2=1 y'=(Ay-a)(By-b) Lineare Differential­gleichungen Homogene lineare Dgl Lösung lineare Dgl Variation der Konstanten Rechner mit konstanten Koeffizienten Lineare Dgl erster Ordnung Rechner lineare Dgl erster Ordnung Sammlung Lösungen erster Ordnung

Modelle

Exponentielles Wachstum Logistisches Wachstum

Rechner

Lineare Dgl 1.Ordnung Allgemeine Dgl 1.Ordnung Lineare Dgl 2.Ordnung Allgemeine Dgl 2.Ordnung Dgl-System 2x2 Dgl System 3x3
Sinh

Infinitesimalrechnung

Die Infinitesimalrechnung ist der Oberbegriff für die Differential- und Integralrechnung. Beide basieren darauf mit unendlich kleinen Abschnitten oder infinitesimalen Abschnitten zu Rechnen. Wesentliches Thema der Differentialrechnung ist die Untersuchung lokaler Veränderungen einer Funktion. Zentraler Begriff der Differentialrechnung ist der Begriff der Ableitung. Die Ableitung entspricht geometrisch der Tangentensteigung. Die Integralrechnung ist aus der Flächen- und Volumenberechnung hervorgegangen. Die Infinitesimalrechnung gehört in der Mathematik zur Analysis.

Ableitungs­regeln

Erläuterung der Ableitungs­regeln mit Beispielen und Rechenweg: Faktor­regel, Summen­regel, Produkt­regel, Quotienten­regel, Ketten­regel.

Ableitungs­regeln Faktor- und Summen­regel Produkt­regel Quotienten­regel Ketten­regel Ableitungs­rechner Brüche ableiten e-Funktion ableiten Wurzel ableiten

Integrations­regeln

Erläuterung der Integrations­regeln für bestimmte und unbestimmte Integrale mit Beispielen und Rechenweg.

Integrations­regeln Rechen­regeln unbestimmter Integrale Rechen­regeln bestimmter Integrale
Kreise

Matrizen und Determinanten

Unter einer Matrix versteht man in der Mathematik eine Anordnung von in der Regel Zahlen in Zeilen und Spalten zu einem rechteckigen Schema. Mit den Rechenregeln bilden die Matrizen ein wesentliches Konzept der Algebra. Matrizen erlauben es Zusammhänge übersichtlich darzustellen und erleichtern das Rechnen.

Matrizen­rechnung

Zusammen­stellung der Rechen­regeln der Matrix­rechnung. Matrizen­addition, -subtraktion und -multiplikation jeweils mit Rechner und Rechenweg.

Matrizen­rechnung Matrizen­addition Matrizen­subtraktion Skalar­multiplikation Matrizen­multiplikation Determinante Inverse Matrix Adjunkte Matrix Eigenwerte und Eigenvektoren

Rechner

Matrixaddition MxN Matrixsubtraktion MxN Matrixmultiplikation Matrix-Vektor-Produkt Inverse Matrix Adjunkte Matrix QR-Zerlegung

Determinanten­rechnung

Zusammen­stellung der Rechenregeln für Determinanten sowie wesentlicher Sätze und Definitionen. Rechner mit Rechenweg zur Berechnung der Determinante einer Matrix. Erläuterung der Leibniz-Formel und des Laplaceschen Entwicklungs­satzes.

Determinanten­rechnung Zeilen­vertauschung Spalten­vertauschung Zeilen­faktor Spalten­faktor Addition von Zeilen Addition von Spalten Multiplikations­satz Transpositions­satz, Inverse und Kästchen­satz Sarrus-Regel Laplacescher Entwicklungs­satz Gauss-Verfahren

Online-Rechner

Determinante 2x2 Determinante 3x3 Determinante 3x3 symbolisch Determinante 4x4 Determinante 4x4 symbolisch Determinante 5x5 Determinante NxN

Vektor­rechnung

Rechenregeln für Vektoren erläutert an Beispielen. Rechner mit Rechenweg für Kreuz­produkt und Skalar­produkt.

Vektor­rechnung Skalar­multiplikation Vektor­addition Vektor­subtraktion Skalar­produkt Kreuz­produkt Betrag-1 Matrix­produkt

Grafisch

Vektor­addition Vektor­subtraktion Matrix-Vektor­produkt Skalar­produkt
Kreise

Ausgleichs­rechnung

Die Ausgleichsrechnung bezeichnet Verfahren um eine Modellfunktion möglichst optimal an Messwerte anzupassen. Da Messwerte in der Regel mit Messfehlern behaftet sind dient die Ausgleichsrechnung dem Schätzen des tatsächlichen Verlaufs der Modellfunktion.

Regressions­rechnung

Die Regressions­rechnung dient der Ermittlung oder Schätzung von Modell­parametern. Bestimmung einer Ausgleichs­geraden mit der Methode der kleinsten Quadrate mit Beispielrechner.

Regression Ausgleichs­gerade Potenz­approximation Gauss­approximation Fourier­approximation Ausgleichs­polynom

Rechner

Ausgleichsgerade, Ausgleichspolynom, Fourierreihe, Potenzgesetz, Gaussfunktion. Mittelwertrechner: Arithmetisches Mittel, geometrisches Mittel, harmonisches Mittel, Median, quadratisches Mittel, kubisches Mittel. Gewichtet und ungewichtet.
Phytagoras

Trigonometrie

Die Trigonometrie umfasst die Berechnungen am Dreieck. Die Ebene-Trigonometrie beinhaltet die Berechnungen am Dreieck in der Ebene während das Teilgebiete der Spährischen-Trigonometrie die Dreiecksberechnungen auf der Kugel betrachtet. Die Trigonometrie verwendet die trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens für die Berechnung der Winkel und Seiten am Dreieck.

Ebene Trigonometrie

Berechnungen am rechtwinkligen und am allgemeinen Dreieck. Anwendung von Sinus- und Kosinussatz.

Trigonometrie

Rechtwinkliges Dreieck

Winkel und Gegen­kathete Winkel, An­kathete Katheten Kathete und Hypotenuse

Allgemeines Dreieck

Zwei Seiten und ein Winkel Zwei Winkel und eine Seite

Interaktiv grafisch

Dreieck Kreis Rechteck Parallelogramm Ellipse Sinusfunktion

Tabellen

Tabellen trigonometrischer Funktionen

Rechner

n-fache Argumente trigonometrischer Funktionen Potenzen trigonometrischer Funktionen
Kreise

Funktionen

Ganz allgemein bilden Funktionen mathematische Objekte auf mathematische Objekte ab. Z.B. eine reelle Zahl auf das Quadrat der Zahl. In diesem Beispiel spricht man von einer reellen Funktion einer Variablen. Wesentlich für die Definition ist, dass eine Funktion jedem Element des Definitionsbereichs genau ein Element der Zielmenge zuordnet. Das gilt nicht für die Umkehrung der Funktion. D.h. es können mehrere Elemente des Definitionsbereichs auf dasselbe Zielelement abgebildet werden. In dem Beispiel der quadratischen Funktion werden z.B. 1 und -1 beide auf 1 abgebildet.

Funktionen Plotter

Interaktive grafische Darstellung von Funktionen.

Elementare Funktionen Funktionen Plotter Parabel Plotter Kubische Funktion Plotter Gauß­verteilung Plotter Gedämpfte Schwingung Plotter

Trigonometrische Funktionen

Sinus, Cosinus und Tangens

Tabellen

Tabellen trigonometrischer Funktionen

Rechner

n-fache Argumente trigonometrischer Funktionen Potenzen trigonometrischer Funktionen

Komplexe Funktionen

Bilder komplexer Funktionen mit der Farbkreis­methode: Lineare Funktion, Rationale Funktion, Sinus­funktion sowie Exponential­funktion und weitere.

Komplexe Funktionen Lineare Funktion Quadratische Funktion Rationale Funktionen Rationale lineare Funktion e-Funktion exp(z)/(z-a) exp(z)/(z-a) + (z+b)/(z+c) Sinus­funktion x2 + i y2
ABSI-Rechner

Körpermaße Indizes Rechner

Auf der Partnerseite elsenaju.de sind einige Rechner zur Ermittlung von Kennzahlen zu Körpermaßen.

Body Mass Index (BMI) Rechner

Der Body Mass Index (BMI) ist eine Maßzahl, die das Gewicht in das Verhältnis zum Quadrat der Körpergöße setzt.

BMI-Rechner Broca-Rechner Ponderal-Rechner

Body Shape Index (BSI oder ABSI) Rechner

Der Body Shape Index (ABSI) sagt etwas über die Körperschemaverteilung.

ABSI-Rechner

Area Mass Index (AMI) Rechner

Der Area Mass Index (AMI) ist eine Kenngröße aus der Anthropometrie und stellt das Verhältnis der Körpermasse eines Menschen.

AMI-Rechner

Waist-to-Height Ratio (WHtR) Rechner

WHtR (Waist-to-Height Ratio ‚Taille-zu-Größe-Verhältnis‘) bezeichnet das Verhältnis zwischen Taillenumfang und Körpergröße.

WHtR-Rechner

Waist-to-Hip Ratio (WHR) Rechner

Als Taille-Hüft-Verhältnis (Waist-hip ratio oder Waist-to-hip ratio (WHR)) wird das Verhältnis zwischen Taillen- und Hüftumfang angegeben.

WHR-Rechner

Grund­umsatz, Leistungs­umsatz und Sport­umsatz Rechner

Kalorien­umsatz­rechner